반도체에 전기장이 인가된다면 전자와 정공은 힘을 받고 이동하게 되고, 이렇게 전기장에 의해 발생된 net movement를 drift라고 합니다. 전하들의 net drift는 drift current를 발생시킵니다.
Volume charge density (ρ)를 갖는 전하가 average drift velocity (vd)로 이동할 때의 drift current density는 다음과 같습니다.
Jdrf = ρvd
따라서 전자와 정공에 의한 drift current density는 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.
Drift current density due to electrons: Jn|drf = (-en)vdn = (-en)(- μnE) #전자는 전기장과 반대의 방향으로 이동함
Drift current density due to holes: Jp|drf = (ep)vdp = (ep)(μpE)
이를 정리하면 다음과 같습니다.
Drift current density due to electrons: Jn|drf = eμnnE
Drift current density due to holes: Jp|drf = eμppE
Total drift current density: Jdrf = e(μnn+μpp)E
이때 μ는 carrier의 mobility를 나타내는 기호입니다. Mobility는 particle이 전기장에 의해 얼마나 이동할지를 나타내는 파라미터이기 때문에 carrier transport를 이해함에 있어 매우 중요한 개념입니다.
Carrier mobility는 아래와 같은 값을 갖습니다.
Mobility는 다음과 같은 식으로 정의됩니다.
여기서 τ는 한 입자가 다른 입자와 충돌하기까지의 mean time을 나타내고 m은 유효질량을 나타냅니다. 이를 정성적으로 이해해보자면 충돌 사이의 평균 시간이 증가할수록, 즉 충돌이 감소할수록 mobility는 증가합니다. 또한, carrier의 질량이 증가할수록 carrier는 잘 이동할 수 없게 되어 mobility는 감소합니다.
이때 τ에 영향을 미치는 것은 바로 scattering입니다.
Scattering mechanism은 다양한 종류가 있습니다.
① phonon scattering (lattice scattering)
② ionized impurity scattering
③ surface/interface scattering
④ neutral impurity atom scattering
⑤ electron-electron & electron-hole scattering
⑥ crystal defects
이중에서 carrier의 mobility에 major한 영향을 주는 phonon scattering과 ionized impurity scattering에 대해 알아보겠습니다.
① phonon scattering (lattice scattering)
반도체 결정 내 원자들은 T > 0 K에서 특정 정도의 thermal energy를 갖고 있습니다. 따라서 이러한 열 에너지에 의해 결정 내에서 원자들은 random하게 vibration을 하게 됩니다. 이러한 lattice vibration은 carrier의 이동을 방해하여 결과적으로는 mobility에 영향을 미치게 됩니다. 특히 온도가 증가할 수록 lattice vibration도 증가하기 때문에, mobility는 온도 T의 함수로 표현할 수 있게 됩니다.
만약 다른 scattering에 영향을 받지 않고 오로지 phonon scattering에 의해서만 mobility가 영향을 받는다면, 온도 T와 mobility 사이의 관계는 다음과 같습니다.
μL ∝ T-3/2
온도가 증가하면 lattice vibration이 증가하게 됩니다. 이는 lattice scattering이 발생할 확률을 증가시키기 때문에 carrier의 mobility는 감소하는 경향을 보입니다.
② ionized impurity scattering
두 번째 scattering mechanism은 ionized impurity scattering입니다. Doping된 원자들은 room T에서 이온화되어 정전기적 인력에 의해 scattering과 colloision을 발생시켜 mobility에 영향을 주게 됩니다. Ionized impurity scattering에 영향을 주는 요소는 두 가지인데요, 바로 온도와 도핑 농도(N)입니다. 마찬가지로 mobility가 ionized impurity scattering에 의해서만 영향을 받는다고 한다면 다음과 같은 비례 관계를 정의할 수 있습니다.
μI ∝ T3/2/NI
만약 온도 T가 증가하게 된다면 electron이 갖는 에너지 또한 증가하게 됩니다. 높은 에너지를 갖는 carrier는 정전기적 인력에 의한 영향을 덜 받고 이동할 수 있게 됩니다. 따라서 mobility는 온도에 비례하여 증가합니다.
도핑 농도(N)도 mobility에 영향을 미칩니다. 도핑 농도가 증가하게 되면 impurity scattering center의 수가 증가하게 되어 carrier의 이동을 방해하기 때문에 mobility는 감소하게 됩니다.
아래 그림은 도핑 농도에 따른 mobility를 보여줍니다.
두 가지 scattering이 동시에 작용한다면 다음과 같은 mobility 관계식을 정의할 수 있습니다.
이를 T에 대한 그래프로 나타내본다면 다음과 같습니다.
온도가 낮을 때는 impurity scattering이 우세하게 발생하며 이때 mobility는 온도에 비례한 관계를 갖습니다. 온도가 더욱 증가하게 되면 lattice scattering이 활발하게 발생하게 되어 mobility가 감소하는 형태를 갖게 됩니다.
다음으로는 반도체의 전도도에 대해 이야기해보겠습니다.
Drift current density는 다음과 같은 식으로 정의되었습니다.
Jdrf = e(μnn+μpp)E = σE
여기서 σ는 반도체의 전도도를 나타냅니다. 전도도의 단위는 (Ω·cm)-1이며 전자와 정공의 mobility에 대한 함수입니다. 또한, 전도도는 비저항(resistivity, ρ)의 역수에 해당하며 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.
ρ = 1/σ = 1/e(μnn+μpp)
즉, 다음 그림과 같이 반도체의 resistivity는 불순물의 농도에 반비례하는 것을 알 수 있습니다.
반도체 소자는 위와 같이 doping을 통해 소자의 conductivity를 조절할 수 있다는 특징을 갖습니다.
지금까지 drift에 대해서 이야기할 때 drift 속도는 E 전계에 대해 선형적으로 증가한다고 가정하였습니다. (vd ∝ μE) 아래의 그래프는 E에 대한 drift velocity를 나타내고, 그래프 곡선의 기울기가 바로 mobility에 해당합니다.
저 전계에서는 drift velocity가 E에 대해 선형적으로 증가하지만, 약 30 kV/cm의 고 전계에서는 drift velocity가 107 cm/sec으로 포화됩니다. 이를 velocity saturation이라 하며 속도가 포화되는 원인은 강한 전계는 격자에 에너지를 인가하여 lattice scattering을 증가시켜 mobility를 감소시키기 때문입니다. 이러한 velocity saturation 문제는 특히 반도체 소자가 미세화되면서, 작은 전압을 인가하여도 강한 전계가 형성되기 때문에 더욱 도드라지게 나타게 됩니다.
다음은 carrier의 diffusion에 대해 이야기 해보겠습니다.
반도체 소자에서는 drift 이외에도 전류를 유도할 수 있는 메커니즘이 있습니다. 이는 바로 확산 (diffusion)이며, diffusion은 입자들이 높은 농도 영역으로부터 낮은 농도 영역으로 이동하는 현상입니다. 반도체에는 전하를 갖는 전자와 정공이 존재하고 이들 또한 농도 기울기에 의해 diffusion이 발생하게 됩니다. 그러면 전하의 순 흐름은 곧 diffusion current를 형성하게 됩니다.
이러한 diffusion current는 캐리어 농도 기울기에 비례하는 값을 갖게 됩니다. 따라서 다음과 같은 식으로 나타낼 수 있습니다.
여기서 Dn, Dp는 각각 전자와 정공의 확산계수 (diffusion coefficient [cm2/sec])으로, carrier가 해당 반도체 내에서 얼마나 빨리 확산할 수 있는지를 나타냅니다.
Diffusion 메커니즘을 포함해 반도체에는 총 4가지의 독립된 전류 메커니즘이 존재합니다. 전자 drift와 diffusion, 그리고 정공 drift와 diffusion 이 4가지 성분의 합이 바로 전류 밀도가 됩니다. 따라서 정리하자면 다음과 같습니다.
마지막으로 설명할 내용은 graded impurity distribution입니다. 이제까지는 반도체가 균일하게 도핑되어 있다고 가정하였습니다. 하지만 실제 반도체 소자들은 불균일하게 도핑된 영역을 갖게 됩니다. 따라서 분균일하게 도핑된 반도체에 대한 설명을 드리고 마치도록 하겠습니다.
아래 그림처럼 불균일하게 도핑된 반도체를 가정해보겠습니다. 만약 반도체가 열평형상태에 있다면, 페르미 에너지 준위는 일정하게 유지되고, 이에 따라 에너지 밴드는 경사진 형태로 표현되게 됩니다. 이렇게 되면 그림에서 표현한 것과 같이 내부적으로 E.field가 형성되게 됩니다. 그렇게 되면 전계에 의한 drift도 음의 x 방향으로 존재합니다. (전자 기준) 마찬가지로 농도 기울기가 존재하기 때문에 양의 x 방향으로의 diffusion도 발생합니다.
하지만 중요한 것은 thermal equilibrium 상태일 때는 개별 전자와 정공의 전류는 0이 되어야 합니다. 따라서 diffusion과 drift에 의한 전류 밀도가 서로 상쇄가 되어야 합니다. 이는 아래와 같은 식으로 나타낼 수 있고 이 식으로 부터 이동도와 확산계수의 관계를 나타내는 식을 구할 수 있습니다.
이는 Einstein relation (아인슈타인 관계)라고 하며, 이동도와 확산계수가 서로 독립된 파라미터가 아니라 하나의 값을 알면 나머지 값을 알 수 있다는 것을 보여줍니다.
다음 글은 비평형(nonequilibrium)상태의 반도체에 대해 설명하겠습니다~~
참고
NEAMAN의 반도체 물성과 소자
youtube| Sungho Kim [물리전자공학 강의]
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